Тригонометрические функции

 

Косинусом угла ? называется абсцисса x точки B ? конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол ? с осью абсцисс.
cos ? =  x .

Модель 2.8. Функция y  = cos  x

 

Синусом угла ? называется ордината y точки B ? конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол ? с осью абсцисс.
sin ? =  y .

Модель 2.7. Функция y  = sin  x

 

Тангенсом угла ? называется отношение ординаты y к абсциссе x точки B ? конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол ? с осью абсцисс.

Модель 2.9. Функция y  = tg  x

 

Котангенсом угла ? называется отношение абсциссы x к ординате y точки B ? конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол ? с осью абсцисс.

Модель 2.10. Функция y  = ctg  x

Ясно, что для данного угла ? функции sin ?, cos ?, tg ? и  ctg ?, которые называются тригонометрическими функциями , определены однозначно (поскольку каждому углу соответствует единственная точка на тригонометрической окружности). Однако если функции sin ? и  cos ? определены для любого угла ?, то функции tg ? и  ctg ? определены только для тех углов, для которых не равен нулю знаменатель дробей и Значит, tg ? не определён для углов вида где  ctg ? не определён для углов вида

Поскольку синус по определению равен ординате точки на единичной окружности, а косинус ? абсциссе, то знаки тригонометрических функций по четвертям будут такими:

Функция Знаки тригонометрических функций по четвертям I II III IV sin ? + + ? ? cos ? + ? ? + tg ? + ? + ? ctg ? + ? + ? Таблица 2.4.1.2
Вычисление тригонометрических функций некоторых углов

3

Рисунок 2.4.1.3.

Найдём значения тригонометрических функций некоторых наиболее часто встречающихся углов. Конец радиус-вектора, отвечающего углу 0°, точка A , имеет координаты (1; 0). Поэтому cos 0° = 1, sin 0° = 0, tg 0° = 0, ctg 0° не определён. Совершенно аналогично рассматриваются точки B  (0; 1),  C  (–1; 0)  и   D  (0; –1), что даёт:

           sin 90° = 1, cos 90° = 0, ctg 90° = 0, tg 0° не определён.                sin 180° = 0, cos 180° = –1, tg 180° = 0, ctg 180° не определён.

               sin 270° = –1, cos 270° = 0, ctg 270° = 0, tg 270° не определён.

Данные нами определения совпадают для острых углов с определениями тригонометрических функций в геометрии. В самом деле, например, синусом острого угла прямоугольного треугольника AOC (см. рис. 2.4.1.4) называлось отношение противолежащего катета к гипотенузе: Кроме того, в курсе геометрии было доказано, что значения тригонометрических функций острых углов не зависят от размеров прямоугольного треугольника.

Однако если мы поместим наш прямоугольный треугольник так, что его вершина – точка O – совпадёт с началом координат, а точка A будет лежать на единичной окружности (то есть мы выбираем тем самым гипотенузу OA  = 1), то геометрическое определение синуса примет вид:

Значит, синус острого угла равен ординате точки, лежащей на тригонометрической окружности. А это как раз совпадает с нашим определением синуса. Совершенно те же самые рассуждения приводят нас к полной эквивалентности геометрического определения тригонометрических функций с тем, что дано в настоящем разделе. Следовательно, для вычисления значений тригонометрических функций мы можем воспользоваться их геометрическим определением.

4

Рисунок 2.4.1.4.

5

Рисунок 2.4.1.5.

Рассмотрим правильный треугольник ABC со стороной, равной 1. Тогда по теореме Пифагора легко найти, что длина его высоты BH равна

6

Рисунок 2.4.1.6.

Значит, Рассматривая угол ABH , найдём, что Соответственно,      

Рассмотрим теперь прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с катетами, равными CA  =  CB  = 1,   CAB  = 45°. Тогда по теореме Пифагора и Следовательно,

Итак, мы вычислили значения тригонометрических функций основных углов. Составим таблицу значений тригонометрических функций, которую мы только что получили.

Функция Углы 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° Градусы 0° Радианы sin ? 0 1 0 –1 0   cos ? 1 0 –1 0 1 tg ? 0 1 – 0 – 0 ctg ? – 1 0 – 0 – Таблица 2.4.1.3

Пример 2

Найдите значения выражений

1)

2)

Показать решение

Имеем:

1)

2)

Ответ. 1) 1; 2)

 

Периодические функции  

Функция f называется периодической с периодом T  ? 0, если для любого x из области определения функции выполнено:

Если функция f имеет период T , то она, очевидно, имеет период nT , где Поэтому говорят о наименьшем положительном периоде (НПП) функции f . Существуют периодические функции, не имеющие НПП. Так, например, f  ( x ) =  C , где C ? произвольная постоянная, является периодической, однако любое положительное число является её периодом. Очевидно, среди них нет наименьшего.

Пример 3

Доказать, что НПП функции y  = sin  x является 2?.

Показать решение

Из определения функции следует, что у точек x и x  + 2? одинаковая ордината, следовательно, sin  x  = sin ( x  + 2?), а это означает, что 2? является периодом функции sin  x . Пусть T ? некоторый период функции y  = sin  x . Тогда для всех x должно выполняться равенство sin  x  = sin ( x  +  T ). При x  = 0 имеем sin  T  = 0. Значит, T может принимать значения только ? n , где Нас интересуют T  < 2?. Таким периодом может быть только T  = ?, однако T  = ? не является периодом данной функции, так как равенство sin  x  = sin ( x  + ?) неверно при Значит, НПП функции y  = sin  x является T  = 2?.

 

Аналогично можно показать, что функция y  = cos  x также имеет НПП T  = 2?. А функции y  = tg  x и y  = ctg  x имеют НПП T  = ?.

Авторы: Ефремова Юля и Ерниязова Вера.